A hipocicloide do futuro

Essa semana, assisti ao filme Total Recall, que, pelos motivos mais misteriosos, resolveu ser traduzido em português para O Vingador do Futuro (ainda, poderia ser pior, eu esperava algo como Rebobinado). Esse post contém um leve spoiler, nada que não seja visto nos primeiros dez minutos de filme: ele se passa em um futuro distante onde a humanidade usa, como meio de transporte, uma forma de trem que atravessa o centro da Terra. Fiquei encantado com o meio de transporte, porque ele inspira diversas questões bem interessantes, que vamos tratar aqui.

A primeira é o que considerei um pecado no filme: a gravidade é considerada binária, ou seja, ou é ativada, ou desativada. A ideia é legal, tentar lembrar o espectador de que no centro do planeta a gravidade é zero, mas ele esquece de lembrar um detalhe: ela não se torna completamente zero no núcleo e volta a ser 9,8m/s² logo em seguida, ela decresce linearmente (considerando a Terra de densidade uniforme) até atingir o zero e depois volta a crescer conforme nos afastamos do centro. Isso resultaria em personagens ficando mais e mais leves até não sentirem a gravidade e, então, começarem a ser atraídos pelo teto ao invés de pelo chão.

Vou explicar melhor. Imagine nosso herói cavando um buraco na Terra. Ele cava diversos quilômetros e atinge um terço do caminho, ficando embaixo da superfície como na figura:

A gravidade, para ele, será equivalente a estar pisando em um planeta cujo raio é o que falta para ele chegar ao centro da Terra, ou seja, um planeta bem menor. Em outras palavras, se ele estiver a essa profundidade, a gravidade que sentirá será como estar pisando em um planeta menor, desenhado em vermelho:

Isso parece estranho, pois simplesmente ignorar toda a massa que não está no vermelho parece desonesto, ela ainda exerce força gravitacional sobre nosso herói. Mas porque as equações da gravitação são tão lindas, um fenômeno muito interessante acontece. Certamente há muita coisa além do vermelho puxando nosso herói, mas o que está acima de sua cabeça o puxa para cima, enquanto o que está do outro lado do planeta vermelho o puxa para o outro lado, de tal forma que eles se cancelam exatamente e a única massa que efetivamente puxa nosso herói é a que está no planeta vermelho. Se você achar isso estranho porque parece haver muito mais massa o puxando para a direção de seus pés (e há, de fato), deve se lembrar que essa massa também está mais distante e isso conta muito na gravitação. Confie em mim ou faça a conta, o que não está no vermelho até puxa, mas nesse cabo de guerra todas as forças se anulam mutuamente.

Assim, a gravidade tende a diminuir de forma gradual até o centro, como se o planeta ficasse cada vez menor. No filme, aproximando-se do núcleo, a gravidade torna-se zero e depois volta a ser o que conhecemos, há vários problemas com isso.

Os que conhecem o princípio da equivalência podem dizer: “Ah, Ricardo, a máquina pode estar acelerando no sentido certo para ajudar aquela gravidade fraca a se tornar forte”, e eu até concordo que esse pode ser o caso para quando o trem está se afastando do centro: uma aceleração no mesmo sentido do movimento poderia compensar a falta de planeta; mas na descida não há desculpa. É realmente crível que uma nave dessas aceleraria contra o sentido de seu trajeto apenas para manter seus tripulantes, que são fixos às cadeiras por mais travas que brinquedos da Disney, em gravidade 9,8m/s²? Não dá para engolir, o filme realmente acha que a gravidade é sempre a mesma até o núcleo, onde, do nada, se torna zero.

Mas não foi apenas isso que me deixou intrigado. As regiões conectadas pelo trem parecem ser Inglaterra e China (Wikipédia diz Austrália), se eu entendi o filme direito, mas nenhuma dessas hipóteses explica a razão do trem ter que passar pelo núcleo da Terra onde há gravidade zero. Todo bom engenheiro podendo cavar um túnel pelo interior da Terra iria se preocupar em cavar o melhor possível, e a pergunta natural é qual o formato do melhor túnel possível.

Vamos primeiro definir qual é o melhor túnel como aquele que te leva mais rápido de um lado para outro. Como dinheiro e recursos não parecem ser problemas para esse povo, queremos minimizar o tempo de voo, ou de queda. Essa é uma pergunta difícil e é um exercícios fascinante aos que gostam de mecânica analítica, um dos melhores do Goldstein, cuja solução pode ser encontrada aqui. A melhor curva que liga dos pontos passando pelo interior da Terra, aquela capaz de transportá-los no menor tempo possível, é uma hipocicloide.

Essa curva pode ser desenhada se você conseguir traçar a trajetória de um ponto em um cilindro menor que rola dentro de um maior. Para ligar três pontos sobre a superfície terrestre que estão na mesma longitude e são igualmente distantes, a melhor curva é a desde gif da Wikipédia:

E como vocês podem ver, essa curva passará pelo centro apenas se os pontos forem antipodais, ou seja, se o trem tiver de conectar um lugar ao outro lado do mundo, seu ponto diametralmente oposto na Terra. Não preciso nem de um site para saber que Inglaterra e Austrália não são opostos; o oposto da Austrália é o norte do Atlântico, sendo o da Inglaterra o Pacífico! Em honra ao filme, a escolha não é tão ruim, mas Sidney ainda está a 3.000Km do oposto de Londres no globo.

Assim, podemos nos divertir pensando: qual seria a profundidade máxima desse túnel, e quanto seria sua menor gravidade possível. Supondo as capitais ligadas Sidney e Londres, podemos usar a solução do problema acima e calcular que o túnel atinge uma profundidade de aproximadamente 5.400Km, faltando ainda bons 1.000Km para se atingir o centro da Terra. Precisamos apenas considerar a gravidade exercida pelo núcleo em nosso herói, mas aí eu vou chamar uma precisão importante, vamos abandonar a hipótese de que a Terra é homogênea e estudar a composição do núcleo terrestre para calcular essa gravidade.

Com raio de 1.000Km, estamos falando da parte mais interna do núcleo, que é sólida e composta essencialmente de ferro e níquel. Sua densidade não é bem determinada, mas confio no site desse professor que diz entre 12,6 e 13g/cm³. A massa de uma esfera desse tamanho (1.000Km) com essa densidade é de 5,5.10^22Kg. A massa da Terra total é 6.10^24Kg (aproximadamente 100 vezes maior que a do núcleo) e o raio total é 6,4 vezes o raio do núcleo que calculamos. Fazendo uma conta rápida, percebemos que a menor gravidade atingida por nosso herói é de 40% a gravidade total da Terra. O valor que esperávamos era de 17%, se a gravidade decrescesse linearmente, mas devemos levar em conta o fato do núcleo ser muito mais denso que o resto da Terra. Assim, um túnel que liga Londres a Sidney, se construído pelo melhor caminho possível (o que conduz os passageiros no melhor tempo), atinge uma gravidade mínima de 40%, que é entre duas a três vezes a gravidade da Lua.

Curiosamente, o sul da América do Sul e a Ásia do leste são as únicas massas continentais urbanas antípodas, sendo a única explicação para o filme a de retratar uma metrópole opressora e cruel que não pode ser outra além de Porto Alegre, Buenos Aires, Santiago ou Montevideo.

Esses três parágrafos anteriores são exagero de minha parte. O filme queria gravidade zero pela trama, as belas cenas de ação, eu entendo. Não sou chato em filmes, juro. Quando me sento na cadeira do cinema, o Super-Homem pode voar e eu não ligo, em Lost, a ilha podia até flutuar, desaparecer, rodar que eu não me espantaria; mas se um filme tenta passar a imagem de cientificamente correto, tem que cumprir o que promete. Se explosão barulhenta no espaço é crime na ficção científica, gravidade binária, por mais relevante que tenha sido para a trama, fica bem difícil de engolir.

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