A raiz do problema

O teorema de Pitágoras é o centro da geometria de nossa oitava série, agora nono ano. Nele, aprendemos que há uma relação simples e até bonita entre os lados de um triângulo retângulo, aquele com um ângulo de 90°. O que não nos contam é a quantidade de problema que esse teorema já deu, e até as mortes que causou, na época de seu descobrimento. Os número irracionais já foram muito mais interessantes, quando havia gente que daria a vida, e mataria, para manter certas verdades ocultas na antiguidade clássica.

Pitágoras é uma figura historicamente bem misteriosa. Tudo o que se sabe sobre ele provém de séculos depois de sua morte, há mesmo quem duvide de sua existência, e todos os dados sobre ele são carregados de misticismo. Isso porque Pitágoras não era apenas um matemático, um professor, um sábio, ele foi além: em sua busca por conhecimentos e verdades nos números, enxergou um pouco mais do que devia e fundou um culto religioso envolvendo as verdades geométricas do universo.

Neste culto secreto, ciência e religião não possuíam diferença alguma e a busca pela verdade era também a busca pelo divino. O culto possuía regras de alimentação, comportamento, ser pitagórico era muito mais que pesquisar matemática, era um estilo de vida, e seu seguidores reuniam-se em uma mistura de escola com monastério no sul da atual Itália, no século V a.C.

Essa mistura não podia terminar muito bem. Diz-se na boca pequena, nesses boatos da história da matemática, que um infortunado descobriu que a raiz quadrada no número dois era um número irracional. Horrorizados com a notícia, os pitagóricos, e talvez até o próprio Pitágoras, mandaram matar este matemático para silenciar o que colocaria em cheque muito das verdades divinas descobertas pelo grupo. A razão do choque é difícil entender, mas vamos tentar, ela reside na ideia que os gregos tinham da natureza de um número.

Toda a matemática grega repousava na geometria, sua álgebra era fraca, a escrita era sempre feita em termos geométricos e os grandes trabalhos gregos versavam teoremas avançados sobre elipses, cônicas, parábolas, mas a ideia de equação está ausente em todos esses textos. Os números, como eles entendiam, eram sempre dados por proporções. Eles escolhiam um comprimento de linha, uma barra, para ser o 1. Mas isso não era “apenas” o número 1, a própria noção de número não existia muito, o 1 da contagem de ovelhas e o 1 da barra eram coisas diferentes para os pitagóricos, e gregos em geral. Essa barra de tamanho 1 representava a unidade, o fundamental, o que gera todas as coisas. E a definição de número dos gregos estava atrelada a isso. Dizer o número 3, a eles, era a barra cujo comprimento era três vezes o da barra unidade. Na ideia deles, dizer 3 era dizer:

Os demais números eram compostos de maneira parecida. A fração 21/16, por exemplo, não era ensinada com pedaços de bolo como em nossas quarta-séries, mas com pedaços da unidade. Você quebra a unidade em 16 pedaços, junta 21 deles, cola e tem o número que deseja:

E assim eles faziam a matemática. Toda barra encontrada era “numerizada” quando se quebrava a unidade em partes pequenas o suficiente para, com um bom número delas, colar e formar a barra nova. E todo número novo era sempre pensado em forma de barra ou de pedaços de barra, toda a matemática eram intersecções, retas, circunferências e pontos. Até que, um dia, um homem, dizem Hipaso de Metaponto, descobriu uma barra que não era número. E, pior, ela estava o tempo todo bem embaixo do nariz de todos. Essa barra é a raiz quadrada de dois, uma barra tão facilmente obtida quanto alguém pode desenhar um quadrado:

Essa barra, a diagonal do quadrado, não pode ser composta com pequenos pedaços da lateral do quadrado, por menores que esses pedaços sejam. Isso não é nada evidente, você pode até tentar se enganar com a fração 141/100, mas ela ainda não é perfeitamente a diagonal do quadrado e nenhuma outra fração jamais será. Se antes eles apenas achavam que era uma barra cuja fração era complicada demais, isso é um abismo em relação à ideia de “não há fração para essa barra”. Em outras palavras, isso violava a própria noção de número dos gregos, algo alienígena à matemática deles, que estava profundamente atrelada ao religioso, à noção de proveniência da unidade, da formação do todo pelo pedaço primordial, ora, nada mais natural que silenciar o herege que descobriu esse pedaço de barra infiel.

A maneira como ele descobriu isso foi geométrica, mas posso dar um argumento algébrico legal de como nenhuma fração ao quadrado dá dois. Suponha que eu seja malandro, suponha que eu tenha encontrado dois números p e q tais que (p/q)^2=2. Como eu estou estudando a fração, é de bom tom que p e q não tenham divisores em comum pois, se tiverem, basta dividir a fração em cima e embaixo pelo número para ter uma fração equivalente (ou seja, 10/15 é o mesmo que 2/3, basta eu dividir os dois por 5).

Mas se (p/q)^2=2, então p^2/q^2 = 2 e p^2 = 2q^2. Até aqui sem surpresas, apenas apliquei o quadrado nos dois elementos e passei o de baixo multiplicando. No entanto, se p^2 é duas vezes alguém, ele tem que ser par. Mas se p^2 é par, então p é par, pois o quadrado de um número só é par se o próprio número for par, não tem como fazer um fator 2 “surgir” quando você multiplica um número por ele mesmo. Então p é par, e, como todo bom número par, é o dobro de alguém. Vamos chamar esse alguém de k, então p=2k. E se p^2 = 2q^2, podemos substituir esse p por 2k e escrever (2k)^2=2q^2\implies 4k^2=2q^2\implies 2k^2=q^2. De novo, sem surpresas, eu apliquei o quadrado nos dois caras da esquerda, percebi que podia dividir os dois lados da equação por dois e o fiz. Então eu provo que q^2 é o dobro de alguém, o tal do k^2, e, com isso, é par, o que faz o próprio q ser par também. Moral da história, se p^2/q^2 = 2, então tanto p quanto q são pares.

Contudo, eu havia suposto que p e q não possuíam divisores em comum! E acabo de provar que ambos são pares, então eles possuem um divisor em comum. Ora, posso dividir ambos por dois que a fração p/q ainda terá dois como quadrado, mas eu posso repetir o raciocínio acima e novamente provar que eles ainda são pares, então posso dividir de novo por dois e, aplicando o raciocínio acima, provar que ainda são pares! Ora, nenhum número é infinitamente par, está na cara que caímos em contradição nesse raciocínio e isso prova que nossa hipótese inicial é falha, pois ela nos conduz a um absurdo, que é um número infinitamente par. A verdadeira moral da história é: não existem números p e q tais que p^2/q^2 = 2.

E isso prova de maneira definitiva que a diagonal do quadrado é um alienígena no mundo da matemática grega, um número que não pode ser colocado como razão entre dois outros e, nessa medida, justamente chamado de irracional. A existência de tais números foi mantida em segredo por um bom tempo, poucos queriam seguir o exemplo de Hipaso. Hoje, não apenas sabemos que eles estão por toda parte, mas que a maior parte dos números reais é, de fato, de número irracionais. Em outras palavras, se você tirar um número real ao acaso, a chance é zero de tirar um que pode ser colocado em forma de fração, mas uma definição com mais cuidado disso tudo levaria a outro post, mas um indício pode ser encontrado em um outro, mais antigo, sobre os infinitos, onde vocês podem comprovar que, se as frações entram em uma fila, o raiz de dois, este incompreendido, não entra em fila nenhuma.

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4 ideias sobre “A raiz do problema

  1. Cassio Fraga

    E mais, a ‘diagonal do quadrado’ é ainda minoria entre os tais alienígenas não racionais. Se você tirar um número irracional ao acaso, a chance que ele seja raiz de algum número – ou mesmo o resultado de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros – é zero também. Isso porque os números algébricos (esses na forma que venho de descrever) são enumeráveis. O resto, ou seja, quase todos, são transcendentais!

    Resposta
    1. Cassio Fraga

      Lembrando que os algébricos incluem também (naturalmente) todos os racionais, mas mesmo assim não deixam de ser enumeráveis.

      Resposta
      1. Ricardo Marino Autor do post

        Exato. A prova de que pi é trancendental é uma das mais divertidas que conheço, só um pouco longa. Ainda, contém uma passagem com permutações de coeficientes de um polinômios e propriedades de polinômios simétricos que são manobras bem interessantes, vale a pena ver.

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