Cabras, Ferraris e probabilidades

Ricardo: Hoje contaremos com um post de um convidado especial, e mais entendido que eu no assunto. Pedro Natal é um gaúcho iteano que atravessou comigo a Polytechnique e seguiu para ser mestre em matemática aplicada pela Universidade de Paris. Tem por vícios chá inglês, café forte e propor problemas matemáticos à turma quando nos reunimos em algum KFC. Sem mais, entrego-lhes uma leve discussão sobre cabras e probabilidades.


Embora o título logo acima possa levar a crer que discorreremos sobre uma peça de teatro do absurdo, o assunto principal deste texto é matemática. Mais especificamente: cabras, Ferraris e programas de auditório; não precisamos de mais que um conhecimento básico desses três itens para seguirmos. E, convenhamos, o que há de melhor para aguçar nossos sentidos probabilísticos do que histórias envolvendo Sílvio Santos, ruminantes e carros de corrida?

Suponha que você esteja num programa de auditório estilo Sílvio Santos, e que você deva escolher uma dentre três portas. Uma delas esconde uma Ferrari; as outras duas, simples cabras. Você escolhe, digamos, a de número 1. Nesse momento, antes de revelar o resultado da sua escolha, Sívio Santos - que sabe onde está a Ferrari - abre uma das outras duas portas e revela uma cabra. Ele então pergunta: “Você muda a sua escolha ou continua com a número 1?”.  Em outras palavras, existe alguma vantagem em trocar de porta?

Se essa é a primeira vez que você se depara com esse problema, eu sugiro honestamente que você aproveite para pensar nele antes de ler o próximo parágrafo. A resposta correta é mais interessante do que parece e está longe de ser trivial.

É possível que você tenha chegado à seguinte conclusão: como só restam duas portas, cada uma delas tem 1/2 de chance de conter a Ferrari, e logo não há vantagem em trocar de porta. Infelizmente, esse raciocínio não está correto. Sim, existe uma vantagem em trocar de porta. A probabilidade que a porta inicial contenha a Ferrari é 1/3, ou seja, a probabilidade de ganhar trocando de porta é de 2/3. Por quê? A maneira mais fácil de entendê-lo é com o seguinte desenho (que eu não tive vergonha de roubar da Wikipédia):

A figura da esquerda mostra que a probabilidade de você ter acertado na sua primeira escolha é de 1/3, ou seja, a probabilidade que a Ferrari esteja em uma das outras duas portas é de 2/3. Quando Sílvio revela a cabra, ele não altera as probabilidades calculadas anteriormente! Assim, como vemos na figura da direita, a probabilidade de encontrar a Ferrari trocando de porta é de 2/3.

Esse famosíssimo problema, conhecido como Problema de Monty Hall, gerou muita confusão e discussão nos EUA há pouco mais de 20 anos. Ele foi publicado por uma colunista chamada Marylin vos Savant na revista Parade em 1990, e desencadeou uma enxurrada de respostas furiosas da parte dos leitores que não aceitavam que a resposta fosse diferente de 1/2 (reza a lenda que, das 10 mil reclamações recebidas, mais de mil foram redigidas por pessoas com um PhD).

Mas o que há de errado afinal com o raciocínio que leva à conclusão de que não há vantagem em trocar de porta? Um pequeno detalhe: Sílvio Santos sabe o que há atrás das portas. O raciocínio seria correto se a porta a ser revelada fosse escolhida ao acaso, mas ela não é! Sílvio Santos nunca vai revelar a Ferrari para o jogador, e é essa assimetria que gera a assimetria probabilística do problema,

Como observado pelo (meu grande amigo) dono do blog Todas as configurações possíveis, existe ainda uma outra maneira intuitiva de se compreender a vantagem em mudar de escolha: se houvesse 1000 portas, você escolhesse uma, e Sílvio abrisse 998, revelando cabras em todas elas, você trocaria? Qual é, honestamente, a chance de você ter acertado de primeira?

Ao leitor que não ficou convencido com esses argumentos intuitivos: uma prova mais formal (mas menos astuciosa) envolvendo a famigerada fórmula de probabilidade condicional pode ser encontrada aqui. Não por acaso, é exatamente o conceito de probabilidade condicional que está por trás da confusão que o Problema de Monty Hall gera na nossa intuição.

As histórias divertidas envolvendo probabilidade não acabam por aí. Num futuro artigo, que deve ser matematicamente (um pouquinho) mais complicado, falaremos sobre as peculiaridades da mistura de álcool, probabilidades condicionais, e cadeias de Markov!

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